Il existe sept codes de Barker, et depuis octobre 2026 une preuve vérifiée par machine dit qu’il n’y en aura pas d’autre. Demandez pourtant à une salle de radioamateurs combien il en existe : vous entendrez sept, neuf, ou « personne ne le sait, on a juste arrêté de chercher ». Les pages de Wikipédia et de Wolfram MathWorld que conservent les moteurs de recherche donnent encore une version de cette dernière réponse. On a dessiné les sept sur une seule affiche, avec l’autocorrélation de chaque code de Barker et les deux preuves qui mettent fin à la recherche. L’affiche est gratuite, et son texte est en anglais.
Télécharger l’affiche
Les deux versions de l’affiche se téléchargent sans frais, en PDF de 18 x 24 pouces.
Imprimez-la pour votre station ou votre club. Chaque fichier tient en une page vectorielle : il se réduit au format lettre pour un carnet de trafic et s’agrandit pour un mur sans perdre sa netteté. La version sombre ressemble à une trace d’oscilloscope. Elle boit aussi beaucoup d’encre.
L’affiche est diffusée sous la licence Creative Commons BY-NC-ND 4.0. Partagez-la librement avec sa ligne de crédit, sans la modifier et sans usage commercial.
Qu’est-ce qu’un code de Barker ?
Un code de Barker est une courte suite de bribes (chips) valant plus un ou moins un, dont l’autocorrélation présente un seul grand pic. Faites glisser le code le long d’une copie de lui-même. À chaque décalage, multipliez les bribes qui se chevauchent et additionnez les produits.
Au décalage zéro, toutes les bribes concordent : la somme vaut la longueur N. Un code de Barker garde toutes les autres sommes à −1, 0 ou +1. Aucune suite de plus et de moins ne peut faire mieux, parce qu’un nombre impair de termes ±1 ne donne jamais zéro.
Le récepteur obtient donc un pic impossible à confondre. Un filtre adapté voit un pic N fois plus haut que son plus grand lobe secondaire. Pour le code de Barker de 13 bribes, ce rapport atteint 22,3 dB.
| Longueur | Code | Pic sur le plus grand lobe secondaire |
|---|---|---|
| 2 | + + | 6,0 dB |
| 3 | + + − | 9,5 dB |
| 4 | + + + − | 12,0 dB |
| 5 | + + + − + | 14,0 dB |
| 7 | + + + − − + − | 16,9 dB |
| 11 | + + + − − − + − − + − | 20,8 dB |
| 13 | + + + + + − − + + − + − + | 22,3 dB |
Vérifiez-le à votre propre banc
Cinq lignes de Python affichent tous les lobes secondaires du code de 13 bribes. Vous n’avez pas à croire une affiche sur parole.
def sidelobes(code):
n = len(code)
return [sum(code[i] * code[i + k] for i in range(n - k)) for k in range(1, n)]
b13 = [1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1]
print(sidelobes(b13))La sortie alterne entre 0 et 1, sur douze valeurs. Inversez la quatrième bribe et les lobes secondaires atteignent 4 en valeur absolue. Cette seule expérience explique pourquoi ces sept suites ont mérité un nom.
Le résultat tient sur une feuille. Imprimez l’affiche et épinglez-la près du banc.
Synchronisation, radar, premiers réseaux Wi-Fi
Les codes de Barker servent à trois choses : la synchronisation de trame, la compression d’impulsion radar et l’étalement du premier Wi-Fi. Ronald Hugh Barker (1915-2015), physicien et ingénieur britannique, a proposé l’idée en 1953 pour marquer le début d’une trame dans un flux de bits. Un récepteur qui corrèle le signal avec le code trouve la trame au sommet du pic. La documentation de MathWorks dit encore que leur faible longueur et leurs lobes secondaires bas les rendent utiles pour cet usage.
Le radar à compression d’impulsion émet le code de 13 bribes sous forme d’inversions de phase à l’intérieur d’une longue impulsion. L’écho se comprime à la largeur d’une bribe : la résolution en distance s’améliore de 13 fois pour la même énergie d’impulsion.
La première norme Wi-Fi, IEEE 802.11 en 1997, étalait chaque symbole sur le code de 11 bribes dans son mode à séquence directe, à 1 et 2 Mbit/s. Un code proposé en 1953 pour la synchronisation de trame s’est retrouvé dans les premières cartes Wi-Fi à séquence directe.
Là où le code de 13 bribes s’arrête
Treize bribes, c’est le plafond, et le radar en voulait davantage. Selon Radartutorial, les 22,3 dB du code de 13 bribes restent loin des 30 dB qu’un radar exige. La compression plafonne elle aussi à 13 pour 1.
Les concepteurs ont donc contourné la limite. Ils emboîtent un code dans un autre : 5 bribes à l’intérieur de chacune des 13, soit 65 bribes au total. Le prix est connu. D’après l’extrait de manuel repris par ScienceDirect, certains lobes parasites dépassent alors le rapport 1/N. D’autres familles de signaux ont pris le relais pour les longues impulsions.
Cette limite a gardé une question ouverte pendant des décennies : celle d’un code plus long.
Le huitième code
Il n’existe pas de huitième code de Barker, et il a fallu deux preuves séparées de 65 ans pour l’établir. Notre propre recherche, jusqu’à la longueur 26, n’a rien trouvé au-delà de 13, et une recherche qui ne trouve rien ne prouve rien. Greg Coxson, à un atelier du Worcester Polytechnic Institute en 2008, parlait encore de l’un des vieux problèmes non résolus du radar et des communications.
| Ce que la preuve écarte | Auteurs | Année | Vérifiée par machine |
|---|---|---|---|
| Toute longueur impaire au-delà de 13 | R. Turyn et J. Storer | 1961 | Non |
| Toute longueur paire au-delà de 4 | Un modèle d’OpenAI | 2026 | Oui, en Lean |
Le résultat de 2026 ferme la moitié paire de la question. Avant lui, une borne de 2014, due à Borwein et Mossinghoff, disait qu’un huitième code compterait plus de 10^33 bribes. Un mot de synchronisation de cette longueur durerait plus longtemps que le contact et l’opérateur.
Les ouvrages de référence n’ont pas encore suivi. Dans sa version indexée par les moteurs de recherche en septembre 2026, Wikipédia décrivait toujours le cas pair comme ouvert, et la page de Wolfram MathWorld parle d’une conjecture. Si votre manuel dit « on ne sait pas », il date d’avant la preuve.
Une réserve a sa place ici. Des preuves complètes avaient été annoncées plus d’une fois depuis 2016, et l’article d’OpenAI en cite lui-même cinq. La vérification par machine distingue celle-ci : une version formelle de la preuve est vérifiée par l’assistant de preuve Lean. L’article a été publié le 6 octobre 2026, et on n’en a encore vu aucune relecture indépendante.
Ce qu’on a vérifié, et ce qu’on n’a pas vérifié
On a testé les 134 217 724 suites candidates, de la longueur 2 à la longueur 26, avant de dessiner la moindre barre. Le script en a trouvé 32 qui passent le test de Barker, ce qui donne 7 codes une fois regroupées les copies inversées, retournées et à signes alternés. Il n’en a trouvé aucune de la longueur 14 à la longueur 26. Le générateur de l’affiche refuse de dessiner une suite qui échoue au test, et chaque barre est calculée à partir du code placé à côté.
Deux limites, dites simplement. On a lu le théorème en Lean et on ne l’a pas encore compilé sur notre propre machine. Et la première ébauche affirmait que la radio utilisait ces codes « depuis 1953 », l’année de la proposition. L’édition imprimée dit « depuis les années 1950 ».
Pourquoi votre manuel en compte neuf
Les tableaux qui comptent neuf codes de Barker inscrivent deux fois les longueurs 2 et 4. La deuxième entrée est la première avec une bribe sur deux inversée, ce qui laisse intacte la taille de chaque lobe secondaire. Comptez chaque paire une seule fois et vous obtenez sept.
Lectures gratuites
Quatre sources gratuites couvrent les deux preuves et la borne. Elles sont en anglais.
- La publication mathématique d’OpenAI, avec l’article et la preuve en Lean, sous licence Apache-2.0
- Turyn et Storer, « On binary sequences » (1961), la preuve pour les longueurs impaires
- Borwein et Mossinghoff, « Wieferich pairs and Barker sequences, II », la borne de 10^33
- Schmidt et Willms, « Barker sequences of odd length », une preuve moderne du résultat de 1961
L’affiche est un travail indépendant, sans affiliation avec OpenAI et sans son aval.
Questions de radioamateurs
Ces quatre questions portent sur le partage, le format et la suite.
L’affiche peut-elle aller sur le site d’un club ou dans un bulletin ?
Oui, le site d’un club ou un bulletin peut diffuser l’affiche. Faites un lien vers cette page ou partagez le PDF tel quel, avec sa ligne de crédit. La licence permet tout partage non commercial du fichier inchangé.
Pourquoi 18 x 24 pouces ?
Le 18 x 24 pouces est un format de cadre courant, et il laisse respirer le tracé du code de 13 bribes.
Quel est le plus long code de Barker ?
Le plus long code de Barker est le code de 13 bribes. Son pic dépasse son plus grand lobe secondaire de 22,3 dB, et les deux preuves décrites plus haut excluent tout code plus long.
Y aura-t-il d’autres affiches ?
D’autres affiches suivront si vous nous dites laquelle vous accrocheriez. Écrivez-nous le résultat ou le schéma que vous voulez voir sur votre mur.
L’affiche a été dessinée à Sherbrooke par un opérateur certifié, sous un indicatif du Québec. Telos Machina construit des systèmes d’automatisation par IA pour les entreprises québécoises, et notre travail d’automatisation des processus repose sur la même habitude : vérifier par script avant de livrer. Votre entreprise a un processus qui mérite la même vérification ? Commencez par un audit de vos flux de travail.
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